Phương trình de Broglie mô tả quan hệ bước sóng  với momen động lượng  và tần số với tổng năng lượng   của một hạt:

λ = h / p f = E / h {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =h/p\\&f=E/h\end{aligned}}}

Với  là hằng số Planck. Phương trình cũng có thể viết dưới dạng:

p = ℏ k E = ℏ ω {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}}

Hoặc:

p = ℏ β E = ℏ ω {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {\beta } \\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}}

Với ħ à hằng số suy giảm Planck, k là vector sóng, β là hằng số pha, và ω là tần số góc.

Trong mỗi cặp, phương trình thứ hai cũng được biết đến như là phương trình Planck-Einstein, bởi vì nó được đề xuất bởi Planck và Einstein.

Thuyết Tương đối hẹp

Sử dụng hai công thức từ thuyết tương đối hẹp, một là công thức động lượng tương đối hẹp và một là cho năng lượng.

E = m c 2 = γ m 0 c 2 {\displaystyle E=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}} p → = m v → = γ m 0 v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}} Phương trình được viết dưới dạng sau: λ = h γ m 0 v = h m 0 v 1 − v 2 c 2 f = γ m 0 c 2 h = m 0 c 2 h / 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\bigg /}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}} Với ký hiệu của khối lượng tĩnh của hạt, là vận tốc của nó, là hệ số Lorentz, và là tốc độ ánh sáng trong chân không. Xem phần dưới để biết chi tiết về khai triển quan hệ de Broglie. Vận tốc nhóm(tương đương với tốc độ hạt) không nên nhầm lẫn với vận tốc pha(tương đương với kết quả của tần số hạt và bước sóng của nó). Trong trường hợp quan hệ tán sắc, hai đại lượng có thể bằng nhau nhưng trong trường hợp khác thì không…

Vận tốc nhóm

Albert Einstein lần đầu lý giải về phương diện sóng-hạt của ánh sáng vào năm 1905. Louis de Broglie đã xây dựng giả thuyết rằng bất kì hạt nào cũng tồn tại hai mặt như thế. Vận tốc của hạt, ông ấy kết luận rằng, nên luôn luôn được xem như bằng với vận tốc nhóm của sóng tương đương. Biên độ của vận tốc nhóm bằng với tốc độ hạt.  

Kể cả thuyết vật lý lượng tử tương đối và phi tương đối, chúng ta có thể xác định hàm sóng của vận tốc nhóm của hạt vận tốc hạt. Cơ học lượng tử chứng minh rất chính xác thuyết này, và quan hệ đã được thể hiện một cách rõ ràng với những hạt lớn như phân tử.

De broglie suy luận ra nếu các phương trình của tính đối ngẫu của ánh sáng là giống với bất kì hạt nào, thì giả thuyết của ông ấy nên được giữ lại. Điều này nghĩa là 

v g = ∂ ω ∂ k = ∂ ( E / ℏ ) ∂ ( p / ℏ ) = ∂ E ∂ p {\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}} với E là tổng năng lượng, p là động lượng,  ħ là hằng số Planck rút gọn. Đối với hạt phi tương đối. tự do v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p ( 1 2 p 2 m ) = p m = v {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right)\\&={\frac {p}{m}}\\&=v\end{aligned}}} m là khối lượng hạt, v là vận tốc.Trong tương đối đặc biệt, ta thấy rằng. v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p ( p 2 c 2 + m 0 2 c 4 ) = p c 2 p 2 c 2 + m 0 2 c 4 = p c 2 E {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {pc^{2}}{E}}\end{aligned}}}

m0 là vận tốc nghỉ, c là vận tốc ánh sáng trong chân không.

Sử dụng vận tốc pha vp = E/p = c2/v, ta có

v g = p c 2 E = c 2 v p = v {\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {pc^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{v_{p}}}\\&=v\end{aligned}}}

Với v là vận tốc của hạt không tính đến đặc tính sóng.

Vận tốc pha

Trong cơ học lượng tử, các hạt cũng phản ứng như sóng với những pha phức. Vận tốc pha là bằng với tích số của tần số và bước sóng.

Sử dụng giả thuyết de Broglie, ta nhận thấy rằng

v p = ω k = E / ℏ p / ℏ = E p . {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}={\frac {E/\hbar }{p/\hbar }}={\frac {E}{p}}.} v p = E p = γ m 0 c 2 γ m 0 v = c 2 v = c β {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {E}{p}}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}v}}={\frac {c^{2}}{v}}={\frac {c}{\beta }}}

Với E là tổng năng lượng của hạt(ví dụ năng lượng tĩnh…(rest energy) và động năng trong chuyển động học), p là động lượng, γ {\displaystyle \gamma }   là hệ số Lorentz, c là tốc độ ánh sáng, và β  là tốc độ là rất nhỏ so với c. Biến số v hoặc là tốc độ của hạt hoặc là vận tốc nhóm của sóng vật chất tương ứng. Khi mà tốc độ hạt v < c {\displaystyle v<c}  cho bất kì hạt nào có khối lượng(theo thuyết tương đối hẹp), vận tốc pha của sóng vật chất luôn vượt quá c, nghĩa là 

v p > c , {\displaystyle v_{\mathrm {p} }>c,\,} Và như chúng ta thấy, vận tốc đó gần bằng khi tốc độ hạt ở trong miền tương đối. Vận tốc pha nhanh hơn ánh sáng không vi phạm thuyết tương đối hẹp, bởi vì sự truyền pha không mang năng lượng. Xem bài viết Sự tán sắc(quang học) để biết thêm chi tiết.

Four-vectors:

Sử dụng Four-vectors, quan hệ De Broglie hình thành một phương trình:

P = ℏ K {\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} }

which is frame-independent.

Likewise, the relation between group/particle velocity and phase velocity is given in frame-independent form by:

K = ( ω o c 2 ) U {\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} }

where

Four-momentum P = ( E c , p → ) {\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)} Four-wavevector K = ( ω c , k → ) = ( ω c , ω v p n ^ ) {\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}\mathbf {\hat {n}} \right)} Four-velocity U = γ ( c , u → ) = γ ( c , v g n ^ ) {\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=\gamma (c,v_{g}{\hat {\mathbf {n} }})}